CALCULADORA

PARA ANTENAS FLOWERPOT

VERSÃO 2.01 (BETA)

🚀 Novidades ▼

Versão 2.01 (03/08/2026):
✓ Corrigida a rotina de download do projeto para funcionar no iOS/Safari (TNX PV2AAT)

Versão 2.0 (01/08/2026):
✓ Calculadora totalmente reprogramada;
✓ Novo "motor" para cálculo do choke (bobina) baseado no trabalho de Serge Y. Stroobandt, ON4AA;
✓ Adicionado gráfico da rejeição do choke (bobina) em função da frequência central da antena;
✓ Cálculo dos radiadores agora leva em consideração o diâmetro dos condutores para maior precisão;
✓ Adicionado botão para baixar o projeto calculado para compartilhar ou guardar.

💬 Erros? Sugestões? ▼

Esta ferramenta está em constante aprimoramento. Se você encontrar algum erro nos cálculos, problemas na interface ou tiver sugestões de melhoria, eu adoraria ouvir seu feedback!

💬 Enviar Sugestão ou Correção

📖 O que é a Flowerpot? ▼

John VK2ZOI A antena Flowerpot foi popularizada pelo radioamador australiano John Bishop, indicativo VK2ZOI, a partir de 1993, quando publicou o seu primeiro artigo no jornal do clube de radioamadores local (HADARC). John faleceu em 2021. Embora o seu projeto seja baseado em conceitos já conhecidos de dipolos coaxiais, o grande mérito de John foi criar um projeto simples de fazer em casa e com materiais e ferramentas comuns, praticamente à prova de erros e, portanto, perfeito para iniciantes.

"Flowerpot" (Vaso de flores)
O nome nasceu de um problema muito comum: regras de condomínio. Sem permissão para instalar antenas na fachada do prédio, o autor montou a antena dentro de um tubo de PVC comum e a espetou em um vaso de plantas na varanda. Quem olhava via apenas um suporte para crescimento de plantas, jamais pensaria que fosse uma antena.

Como ela funciona?
Ao contrário do que possa parecer, a Flowerpot é uma antena dipolo de meia onda "disfarçada". Em um dipolo comum, usamos dois pedaços de fio esticados e no meio conectamos o cabo coaxial. Na Flowerpot, a antena inteira é feita usando o próprio cabo, onde um dos "braços" da dipolo é feita com o condutor central "descascado" e o outro "braço" usa a própria malha do cabo coaxial. O segredo está na bobina na base da antena, que atua como um bloqueador de RF (o choke) e fazendo com que aquele pedaço de malha que fica acima dela funcione exatamente como se houvesse um pedaço de fio conectado, igual a uma dipolo comum. Com isso, a parte superior e a parte inferior passam a se comportar exatamente como os dois braços de um dipolo vertical.

Por que é a antena ideal para iniciantes?

Construção simples: Não exige soldas no elemento radiante, compra de baluns comerciais ou uso de conectores do lado da antena. Você só precisa de fita isolante, cabo coaxial suficiente pra chegar até o rádio, um pedaço de cano e o conector para conectar ao rádio.
Dispensa ajustes: Desde que preste atenção quando usar a trena e respeite rigorosamente as medidas do projeto, a antena já nasce pronta. Se medir a ROE, dificilmente haverá qualquer problema. É um projeto muito seguro.
Muito versátil: Ela pode ser montada de forma fixa e ficar no telhado resistindo ao vento e à chuva, ou de forma portátil. É só descartar o cano depois da bobina e a antena cabe no bolso ou na mochila, perfeita para levar e instalar em qualquer lugar, bastando amarrar a ponta no galho de uma árvore durante ativações.

Para conhecer a história completa, ver as fotos do projeto original e conferir outras variações (como a versão de banda dupla), vale a pena visitar o site original do VK2ZOI.

✍️ Entrada de dados

Frequência $f_c$

MHz

Tubo $D_\text{núcleo}$

Condutor $d_\text{sup}$

Cabo $d_\text{inf}$

📡 Resultados

Radiador Superior

A➛

Radiador Inferior

B➛

Bobina (Choke)

C➛

Nº de Voltas

N➛

voltas

Frequência ($f_c$)

MHz

Tubo ($D_\text{núcleo}$)

Cabo p/ Bobina ($L$)

Cabo Total ($L_{\text{total}}$)

📈 Gráfico do Choke ▼

🤔 O que é isso? ▼

A área verde do gráfico corresponde à faixa de frequências onde a bobina funciona efetivamente como choke, barrando as correntes de modo comum no cabo coaxial para que a antena possa funcionar adequadamente. Passe o mouse ou toque para ver os valores ao longo do gráfico.

🔎 Análise do Choke ▼

Circuito equivalente efetivo na $f_c$

O circuito equivalente efetivo modela o comportamento real da bobina desconsiderando a capacitância parasita entre suas espiras, tratando o indutor como um guia de onda helicoidal (sheath helix). A partir da frequência de ressonância e do diâmetro do tubo informados, a calculadora determina a quantidade de espiras que satisfaz as condições para atingir um comprimento elétrico de 1/4 de onda. Como os cálculos refletem o comportamento da bobina exatamente em sua auto-ressonância, é normal e esperado que a indutância, a reatância e o Fator Q apresentem números altíssimos, pois tendem ao infinito nesse ponto de operação. Para uma explicação mais detalhada da física por trás desses cálculos, consulte a seção de FAQ do artigo original de ON4AA.

Indutância Efetiva $|L_{\text{eff,s}}|$

µH

Reatância Efetiva $|X_{\text{eff,s}}|$

Resistência Efetiva $R_{\text{eff,s}}$

Fator Q Sem Carga $|Q_{\text{eff}}|$

Circuito equivalente a parâmetros concentrados na $f_c$

Aqui, a bobina é modelada como um circuito clássico LCR paralelo, uma simplificação do comportamento físico complexo da bobina, representando-a por meio de componentes passivos ideais. Os valores são obtidos por meio das fórmulas clássicas onde se considera o comprimento da bobina muito pequeno em relação ao comprimento de onda ($l \ll \lambda$), desconsiderando seus efeitos. Seus valores são calculados para produzir os mesmos efeitos que a bobina real produz nas correntes de modo comum na frequência central da antena."

Diagrama do Circuito a Parâmetros Concentrados

Indutância em Série $L_{\text{s}}$

µH

Capacitância Parasita $C_\text{p}$

Resistência em Série $R_{\text{s}}$

📚 Histórico e Otimizações ▼

Como esta calculadora foi desenvolvida

A primeira versão desta calculadora foi lançada como uma versão melhorada de outras calculadoras, como esta ou esta. Basicamente utilizei a mesma fórmula para o cálculo dos radiadores (a clássica equação envolvendo comprimento de onda com compensação) e do choke presentes naquelas calculadoras e adicionei um simples cálculo de quantidade de voltas a partir do comprimento calculado, já que nelas somente é fornecido o comprimento do cabo coaxial da bobina, sem maiores detalhes.

A partir da leitura do trabalho de Gary Rondeau (AF7NX) nesta página, percebi que o cálculo do choke que fica na base da antena (e que é o elemento mais importante dela, aliás) não é algo trivial. O fenômeno da auto-ressonância em indutores é bem conhecido, mas modelá-lo para prever seu comportamento não é algo simples. Como Gary apresenta uma planilha para o cálculo simplificado, procurei adaptá-lo de forma simplificada por meio de uma trivial regressão linear a partir dos cálculos da planilha. Método impreciso, mas (aparentemente) suficiente para o uso no radioamadorismo.

Porém, percebi que o choke calculado tendia a ser muito diferente de projetos conhecidos. À medida que a frequência ficava grande, o erro aumentava. Coisas da regressão linear, em sua maior parte, mas também por conta da forma como o cálculo original era feito. Por conta das discrepâncias encontradas, tirei a calculadora do ar para aprimorá-la.

Daí, descobri o trabalho do Serge Y. Stroobandt (ON4AA) nesta página. Ele construiu uma SUPER calculadora para bobinas auto-ressonantes. Em suas próprias palavras, "O desenvolvimento de sua base de cálculo apoiou-se principalmente em um artigo de 2001 publicado na IEEE Microwave Review pelos irmãos Corum (James K1AON e Kenneth W0CGJ), juntamente com as fórmulas de correção apresentadas na detalhada revisão teórica de David Knight (G3YNH), complementadas por algumas adições pessoais". Basicamente via a bobina como um guia de onda helicoidal e, a partir da determinação do modo n=0, calculava a sua indutância de forma muito mais precisa. O grande diferencial é que, ao invés de tentar calcular uma capacitância parasita entre as espiras para achar a ressonância, como geralmente é feito em outras abordagens, esse modelo determina a auto-ressonância analisando o comportamento da onda eletromagnética viajando pelo condutor, como se a bobina fosse uma verdadeira linha de transmissão.

No entanto, embora primoroso e muito detalhado, o "motor" da calculadora de ON4AA não servia para projetar o choke da flowerpot diretamente, já que funcionava "ao contrário": o usuário fornece os dados da bobina e o programa calcula sua frequência de ressonância. Vi aí uma possibilidade de adaptação a partir de uma "inversão algébrica", de forma que o usuário informasse a frequência desejada e a calculadora retornaria as características da bobina.

Recorri ao Gemini, que fez o trabalho "braçal" de adaptação do código Python para realizar essa inversão, além de ajudar a definir a interface visual da calculadora. Muitas semanas de testes, escrita e reescrita de código, alguns erros catastróficos e muitos neurônios para entender o que estava acontecendo (!) foram necessários, mas finalmente cheguei a este ponto: calculadora funcional e (até onde pude verificar) muito precisa e produzindo dados condizentes com a realidade.

Mas, como todo trabalho humano, este é sujeito a falhas e melhorias. Por isso, caso encontrar algum erro ou quiser fazer alguma sugestão para melhorá-lo, por favor entre em contato comigo!

Otimizações no Cálculo dos Elementos Radiantes

O dimensionamento dos radiadores da antena Flowerpot nesta ferramenta foi aprimorado para superar as limitações comuns em outras calculadoras. Em vez de tratar os condutores como fios ideais unidimensionais, o diâmetro dos condutores é considerado como fator de efetivo encurtamento do comprimento elétrico:

Aplicação da Teoria de Antenas Espessas (Thick Antenna Theory). Geralmente, o comprimento dos "braços" do dipolo é obtido pelo simples cálculo de 1/4 do comprimento de onda (lambda) considerando 5% de redução. O atual modelo incorpora as equações de Schelkunoff para elementos cilíndricos, calculando um fator de encurtamento (k) dinâmico. Esse fator compensa o aumento da capacitância distribuída e a redução da indutância causadas pela espessura real do condutor, fazendo com que condutores mais grossos fiquem com comprimentos físicos proporcionalmente menores para a mesma frequência de ressonância.
Cálculo separado dos Radiadores. A antena Flowerpot é assimétrica em sua construção física. Os radiadores têm diâmetros bem diferentes (superior composto pelo condutor central e inferior composto pela malha do cabo coaxial). A ferramenta agora trata essa assimetria aplicando fatores de encurtamento distintos para cada segmento.

Otimizações no Cálculo da Bobina

O modelo matemático de cálculo do indutor utilizado nesta ferramenta deriva do script original (inductance.py) desenvolvido por Serge Y. Stroobandt (ON4AA) e disponível em forma de calculadora nesta página. Durante o desenvolvimento do código para execução em ambiente web (via Brython), foram implementadas resoluções técnicas para as pendências (TODOs) documentadas pelo autor original. As alterações são detalhadas a seguir:

Substituição do algoritmo de busca de raízes: O módulo fzero original foi substituído por uma implementação do método de bissecção (denominada atc_bisection). O algoritmo inclui tratamento de exceções na avaliação das funções para garantir a convergência da constante de fase radial ($\tau$) no interpretador web, evitando falhas de execução.
Tratamento de instabilidades numéricas ($Z_c \to \infty$): Foram adicionadas condições de contorno ao cálculo das funções de Bessel modificadas para prevenir erros de overflow em argumentos extremos. Em condições onde a variável dependente excede limites predefinidos (ex: $x > 100$), limites assintóticos (como term1 = 1.0) são forçados para manter a integridade da avaliação da relação de dispersão matemática, evitando o colapso das funções de Bessel.
Determinação do número de espiras a partir da ressonância: O modelo foi reestruturado para operar sob parametrização inversa. Utilizando a rotina find_N_from_fres, o algoritmo aplica busca numérica para determinar o número de espiras ($N$) necessário para ressonância, definindo a frequência central ($f_c$) informada pelo usuário como variável independente.
Otimização das condições iniciais (Seeding): Para a geração da matriz de dados do gráfico de banda de rejeição, implementou-se uma inicialização dinâmica. A avaliação numérica iterativa de cada frequência no domínio reaproveita o valor de $\tau$ da iteração adjacente como chute inicial (com dispersão paramétrica de $\pm 5\%$), reduzindo o custo computacional da varredura.
Refinamento iterativo do diâmetro efetivo: O cálculo do diâmetro efetivo ($D_{\text{eff}}$) foi convertido de uma avaliação em malha aberta para um laço fechado. O valor é ajustado sequencialmente em função do efeito de proximidade (utilizando dados de interpolação de Medhurst) até que a variação residual entre iterações atinja uma tolerância da ordem de $10^{-9}$, conferindo maior rigor à modelagem da auto-ressonância.

📐 Base Matemática ▼

Calculadora original (ON4AA)

A grande inovação da calculadora original desenvolvida por ON4AA e baseada nos trabalhos dos irmãos Corum e de David Knight está na substituição do modelo quase-estático de parâmetros concentrados por um modelo dinâmico baseado na propagação de ondas lentas (slow-wave structures).

1. O Modelo Quase-Estático
Na teoria clássica de circuitos, um indutor é visto como um componente eletricamente pequeno ($l \ll \lambda$). Assume-se que a corrente tem a mesma fase e magnitude em toda a extensão do condutor. Para explicar a Frequência de Auto-Ressonância (SRF), a literatura clássica supõe a existência de uma capacitância parasita distribuída ($C_p$) entre as espiras, modelando o componente como um circuito tanque RLC paralelo, onde $f_{res} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_p}}$.

O problema é que $C_p$ não tem significado físico real; é um artifício de modelagem matemática (quase-estático) criado para mascarar o fato de que a bobina deixou de ser um elemento concentrado e passou a se comportar como uma linha de transmissão ou estrutura de guia de onda (sheath helix). Em frequências onde o comprimento do fio é comparável a uma fração significativa de $\lambda$, o campo ao redor da bobina sofre retardo de fase. A bobina deixa de ser um componente e passa a ser uma estrutura distribuída.

2. O Modelo de Guia de Onda em Hélice (Sheath Helix)
A abordagem eletrodinâmica descarta o $C_p$. Em vez disso, a bobina cilíndrica é modelada como um guia de onda cilíndrico helicoidal infinitamente fino (o modelo sheath helix).

A estrutura é definida por um cilindro de raio $a$, onde a condutividade é considerada infinita ao longo da direção do enrolamento (definida pelo ângulo de passo $\psi$) e zero na direção ortogonal. Para encontrar a propagação dos campos elétrico ($\vec{E}$) e magnético ($\vec{H}$) dentro e fora desse cilindro, resolve-se as Equações de Maxwell aplicando as condições de contorno na superfície do cilindro ($r = a$). O modo de interesse para bobinas de RF é o modo azimutalmente simétrico ($n=0$), onde os campos eletromagnéticos não variam em relação ao ângulo de azimute ($\frac{\partial}{\partial \phi} = 0$).

3. A Relação de Dispersão e as Funções de Bessel
Devido à simetria cilíndrica, a solução da equação de onda resulta em expressões compostas por Funções de Bessel Modificadas. Os campos confinados no interior do cilindro são finitos no centro e crescem em direção à superfície, sendo descritos por funções do primeiro tipo ($I_0$ e $I_1$). Os campos radiantes ou evanescentes no exterior do cilindro são descritos por funções do segundo tipo ($K_0$ e $K_1$).

Ao aplicar as condições de contorno para os campos $\vec{E}$ e $\vec{H}$ na interface $r = a$, ou seja, continuidade do campo elétrico tangencial e descontinuidade do campo magnético devido à corrente no condutor, obtemos a equação transcendental característica da hélice (relação de dispersão):

$$\frac{K_1(\tau a) I_1(\tau a)}{K_0(\tau a) I_0(\tau a)} = \left( \frac{\tau}{k_0} \tan \psi \right)^2$$

Onde:

$a$ é o raio efetivo do cilindro.
$\psi$ é o ângulo de passo da espira.
$k_0 = \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$ é o número de onda no espaço livre.
$\tau$ é a constante de fase radial, definida pela relação $\tau^2 = \beta^2 - k_0^2$.
$\beta$ é a constante de fase axial da onda que se propaga ao longo do eixo do cilindro.

Essa relação de dispersão mostra que a velocidade de fase da onda viajando pelo eixo do cilindro ($v_p = \omega / \beta$) é inferior à velocidade da luz ($c$). Trata-se de uma estrutura de onda lenta (slow-wave).

4. A Auto-Ressonância como Fenômeno de Onda Estacionária
Em linhas de transmissão clássicas, trechos sintonizados podem atuar como transformadores de impedância — por exemplo, uma linha com comprimento equivalente a um quarto da onda propagante ($\lambda/4$, ou comprimento elétrico $\beta l = \pi/2$) terminada em curto-circuito apresentará uma ressonância de alta impedância (anti-ressonância) em sua entrada.

A bobina aqui considerada atua de forma análoga. A Frequência de Auto-Ressonância (SRF) fundamental não ocorre por causa de $LC$, mas sim porque o comprimento axial da bobina $l$ impõe uma condição de contorno de onda estacionária. Para encontrar a ressonância exata da bobina, impomos a condição de quarto de onda da onda lenta:

$$\beta = \frac{\pi}{2l}$$

A partir desse $\beta$ conhecido (ditado pelo comprimento físico que a bobina ocupa), substitui-se $\tau = \sqrt{\beta^2 - k_0^2}$ na equação da relação de dispersão e resolve-se numericamente para $k_0$. Uma vez encontrado o $k_0$ que satisfaz a igualdade, encontra-se a frequência exata de ressonância da estrutura ($f_0 = \frac{k_0 c}{2\pi}$).

Esta calculadora (Flowerpot 2.0)

Inovações desta calculadora em relação ao modelo original:

Implementação nativa de Funções de Bessel (I0, I1, K0 e K1): Como esta calculadora processa os dados diretamente no navegador do usuário (via Brython), decidi não usar bibliotecas científicas complexas como o SciPy (presente no script original de ON4AA). Por isso, foram implementadas matematicamente do zero as aproximações polinomiais e assintóticas para as funções de Bessel Modificadas. Adicionou-se também um tratamento rigoroso de exceções (OverflowError) para evitar travamentos do navegador quando os cálculos atingem limites assintóticos.
Solução Numérica Autônoma (Custom Solver): As condições de contorno do guia de onda que definem o comportamento da bobina geram uma equação transcendental altamente complexa. A função eval_F isola essa relação de dispersão, e a função atc_bisection atua como um solver numérico customizado utilizando o método da bissecção. Isso substitui funções adicionais de otimização, garantindo uma convergência de raízes rápida e estável em ambiente web.
A Inversão Algébrica (Design Reverso): O script original de ON4AA trabalha de forma linear: o usuário informa a quantidade de espiras ($N$) e o software calcula onde a bobina ressoa. O motor desta calculadora faz exatamente o oposto. Ele recebe a frequência desejada ($f_c$) e utiliza um laço fechado de convergência matemática (find_N_from_fres) para varrer dinamicamente as Equações de Maxwell até encontrar o número exato de espiras necessário para sintonizar a bobina como um ressoador de 1/4 de onda.
Cálculo da Impedância Característica e Banda de Rejeição: A impedância de pico (a real capacidade de bloqueio do choke) calculada aqui não é uma aproximação baseada em capacitância parasita. O algoritmo integra a verdadeira impedância característica ($Z_c$) da bobina atuando como uma estrutura de onda lenta (slow-wave structure). Essa impedância é então penalizada pelas perdas reais de alta frequência do cobre, considerando o Efeito Pelicular e o Efeito de Proximidade por meio de interpolação avançada das tabelas de Medhurst. Foi essa modelagem rigorosa que permitiu a criação de um gráfico dinâmico da banda de rejeição da antena em decibéis (dB).

Esta calculadora foi desenvolvida por Alisson, PR7GA, e utiliza em seu núcleo de processamento (Python via Brython) rotinas matemáticas derivadas do trabalho original de Serge Y. Stroobandt, ON4AA (hamwaves.com).

mathextra.py e fzero.py: Domínio Público.

Por incorporar e adaptar código licenciado sob a GPLv3, o código-fonte integral deste projeto (incluindo interface, integrações e scripts complementares) é distribuído sob os termos da mesma licença.

Este programa é um software livre: você pode redistribuí-lo e/ou modificá-lo sob os termos da Licença Pública Geral GNU conforme publicada pela Free Software Foundation, versão 3 da Licença. Este programa é distribuído na esperança de que seja útil, mas SEM NENHUMA GARANTIA; sem mesmo a garantia implícita de COMERCIALIZAÇÃO ou ADEQUAÇÃO A UM DETERMINADO FIM. Veja a GNU General Public License para mais detalhes.

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